Consider a two-dimensional system of differential equations of the form

(1)

where P and Q are analytic functions whose series expansions start with at least quadratic terms. The origin is a strong focus when a₀≠0, a weak focus or a center when a₀ = 0. If the origin is a center and the period of all solutions close to the origin is the same, then the singular point is called an isochronous center. The problem of isochronous center has been study by many authors.

Some examples of isochronous foci in the sense of this definition for system (1) with P and Q being homogeneous polynomials are given by Rudenok [1]. Other definitions of an isochronous singular point which is not necessary a center are given in [2, 3].

We investigate a property of normal forms of p : −q resonant vector fields related to isochronicity which we call d-isochronicity. The problem is reduced to studying polynomial ideals and their varieties which are performed using tools of computer algebra.

We have studied two polynomial systems and found that for them the d-isochronicity is equivalent to the linearizability. Thus, a question which arises naturally is whether it is true that for cubic polynomial systems with p≠q d-isochronicity is equivalent to linearizability? It is shown in [4] that in the case p = q the answer to this question is negative. Namely, it is shown in [4] that for the quadratic system with p = q = 1 the d-isochronicity is equivalent to the linearizability, however for the system with homogeneous cubic nonlinearities these properties are not equivalent. This work continues this investigation.

Рассмотрим двухмерную систему дифференциальных уравнений вида

(2)

где P и Q аналитические функции, чьи степенные разложения начинаются с не менее чем квадратичных членов. Начало координат - фокус, когда a₀≠0, слабый фокус или центр, когда a₀ = 0., Если начало координат - центр и период всех решений близких к этому началу одинаков, то такую сингулярную точку называют изохронным центром. Проблема изохронного центра была исследована многими авторами.

Некоторые примеры изохронных фокусов в смысле этого определения для системы (2) с P и Q - гомогенными полиномами приведены у Rudenok [1]. Другие определения изохронной сингулярной точки, которая не обязательно является центром, даны в [2, 3].

Мы изучаем свойство нормальных форм p : −q резонансных векторных полей по отношению к изохронности, которую мы будем называть д-изохронностью. Проблема сведена к изучению полиномиальных идеалов и их аффинных многообразий, средствами компьютерной алгебры.

Мы изучили две полиномиальных системы и нашли, что для них д-изохронность эквивалентна линейности. Таким образом, вопрос, который естественно возникает - верно ли, что для кубических многочленных систем с p≠q д-изохронность эквивалентна линейности? Как показано в [4], в случае p = q ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, для квадратной системы с p = q = 1 д-изохронность эквивалентна линейности, однако для системы с гомогенной кубической нелинейностью, эти свойства не эквивалентны. Настоящая работа продолжает это исследование.

References