Expression of some of the variables via some others is the most important method in Computer Algebra for simplification of the systems of equations. Analytic implementations of this algorithm often have high computational complexity. In the paper we describe the transition of this algorithm from the analytical representation to the numerical one. However, for the systems of large size several problems may arise. In the paper we discuss these problems and suggest solutions for some of them.

We demonstrate our ideas and the developed algorithms on the Butcher’s systems ( [1]) of high order, the systems defining Runge-Kutta methods. When the number of equations is large the corresponding systems may have several hundreds of equations.

Computations are performed in two modes: standard resolution double and using library GMP with 100 decimal digits.

We compare the results obtained by our numerical approach and the ones obtained by the Computer Algebra.

References

Выражение части переменных через остальные — важнейший метод упрощения систем уравнений в компьютерной алгебре. Аналитическая реализация этого алгоритма часто оказывается вычислительно слишком сложной. В работе описывается перенос этого алгоритма из аналитического представления системы уравнений в численное. Но при больших размерах системы на этом пути тоже возникают проблемы. Они и рассматриваются в настоящей статье и для многих предлагаются пути решения.

Рассматриваются результаты применения разработанных алгоритмов к системе уравнений Бутчера ([1]), которую требуется решать для нахождения методов Рунге-Кутта высоких порядков. При для больших порядков количество уравнений в этой системе достигает многих сотен.

Вычисления проводились в двух режимах: со стандартной точностью double и с помощью библиотеки GMP со 100 десятичными знаками после запятой.

Сравниваются результаты, получающиеся численным методом и методами компьютерной алгебры.

References