Darboux (or Differential) Transformations (DT) is a well-known and one of the most efficient methods to obtain analytic solutions of Linear and Non-Linear Partial Differential Equations. In his works Darboux provides a number of intuitive and informal ideas which form the foundation of the DT theory. The methods which have been effectively used by Mathematical Physics (e.g. for soliton solutions) have been rigorously proved and formulated for only few special cases.

Thus our starting point was to provide formal statements and proofs for the completeness of the Wronskian formulas for DT of hyperbolic operators on the plane. We solved this problem for order one and partially for order two. During this process we discover that DT have interesting algebraic structure and properties.

Преобразования Дарбу (ПД) или дифференциальные преобразования – хорошо известные эффективные методы получения аналитических решений линейных и нелинейных уравнений с частными производными. В своих работах Дарбу предлагает несколько интуитивных и неформально изложенных идей, которые стали основанием теории ПД. Эти методы, эффективно использованные в математической физике (например, для получения солитонных решений), были четко сформулированы и строго обоснованы только для нескольких специальных случаев.

Нашей отправной точкой была идея сформулировать и доказать полноту формул вронскиана для ПД гиперболических операторов на плоскости. Задачу удалось решить для ПД порядка один и частично для порядка два. Дополнительно обнаружено, что алгебраическая структура ПД обладает рядом интересных свойств.