Kruglikov-Lychagin multibracket and compatibility of PDEs

S. Tychkov
Institute of Control Sciences of RAS, Moscow)
E-mail address: sergey.lab06@yandex.ru

Consider the following overdetermined system of PDEs:

{ ( |σ| ) E : Fi x,u,..., ∂--u,... = 0, (i = 1,...,m + 1) ∂xσ
(1)

where x = (x1,x2,…,xn) — vector of size n of independent variables, u = (u1,u2,…,um) — vector of unknown function, σ = (σ1,...,σn) — multi-indicies of length |σ| = σ1 + … + σn, and

∂|σ|ui ∂|σ|ui -∂xσ--= ∂x-σ1∂xσ2...∂xσn . 1 2 n

 Rewrite system E in jets coordinates (x, p):

Fi(x,p0,...,pσ,...) = 0, (i = 1,...,m + 1)

System E formally integrabke iff its multibracket vanishes due to this system.

Example

We find formal integrability conditions of the following system using multibracket:

( ||| ux − vy = 0, { uy + vx = 0, || a(x,y)ux + b(x,y)uy = 0. |(

Our computations leads us to the theorem.

Theorem 1. Regular vector field

X = -∂-+ b(x,y)-∂- ∂x ∂y
has non constant harmonical first integral iff function b(x,y) satisfies the following PDE:
(b2 + 1)Δb − 2b(b2x + b2y) = 0.

References

[1]   B. Kruglikov, V. Lychagin. Multi-brackets of differential operators and compatibility of PDE systems. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), no. 8, 557–561.

Исследование формальной интегрируемости переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с помощью мультискобки Кругликова-Лычагина

С.Н. Тычков
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
E-mail address: sergey.lab06@yandex.ru

Рассмотрим переопределенную систему m + 1 дифференциального уравнения в частных производных порядка s

{ ( ) ∂ |σ|u E : Fi x,u,...,---σ-,... = 0, (i = 1,...,m + 1) ∂x
(2)

где x = (x1,x2,…,xn) — вектор размерности n, u = (u1,u2,…,um) — вектор-функция от x, σ = (σ1,...,σn) — мультииндексы длины |σ| = σ1 + … + σn. Под

|σ|i ∂--u-- ∂xσ

мы понимаем частную производную

------∂|σ|ui----- ∂x σ11 ∂x σ22...∂xσnn.

Запишем систему (2) в координатах джетов (x,p):

Fi(x,p0,...,pσ,...) = 0, (i = 1,...,m + 1)

Система (2) формально интегрируема тогда и только тогда, когда ее мультискобка [1] равна нулю в силу самой системы.

Пример

Найдем условия формальной интегрируемости следующей системы с помощью мультискобки:

( || ux − vy = 0, |{ uy + vx = 0, | ||( a(x,y)ux + b(x,y)uy = 0.

Вычисления приводят нас к следующей теореме:

Теорема 1. Векторное поле

∂ ∂ X = ∂x-+ b(x,y)∂y-
обладает не равным константе гармоническим первым интегралом тогда и только тогда, когда функция b(x,y) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
2 2 2 (b + 1)Δb − 2b(bx + by) = 0.

References

[1]   B. Kruglikov, V. Lychagin. Multi-brackets of differential operators and compatibility of PDE systems. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), no. 8, 557–561.