Унитарные операторы в гильбертовых пространствах — т.е. унитарные представления некоторых групп симметрий — лежат в основе математического описания квантовых явлений. Эти группы можно считать конечными без всякого риска нарушить физическое содержание проблемы, поскольку применительно к описанию реальных физических систем метафизический выбор между “конечным” и “бесконечным” не может привести к каким-либо эмпирически наблюдаемым последствиям.

В конечном подходе любую квантово-механическую проблему можно свести к перестановкам, поскольку любые представления групп содержатся в перестановочных. Это обстоятельство — соввместно с интерпретацией квантовых амплитуд как векторов натуральных чисел (“кратностей вхождения” лежащих в основе переставляемых элементов) — делает квантово-механические проблемы конструктивными и пригодными для исследования методами компьютерной алгебры и вычислительной теории групп. В нашем подходе отсутствует потребность в интерпретационных конструкциях вроде “коллапса волновых функций”, “множественных миров”, “множественных сознаний” и т. п. Мы показываем, что наблюдаемые величины могут быть выражены в терминах перестановочных инвариантов и натуральных чисел, характеризующих группы симметрий. В частности, борновские вероятности всегда представляют собой не содержащие иррациональностей — несмотря на появление циклотомических чисел в промежуточных вычислениях — комбинации перестановочных инвариантов.

Исследования сопровождались вычислениями с конечными группами, представлениями и инвариантами. При этом использовались как наша собственная реализация алгоритмов работы с группами, написанная на Си, так и система компьютерной алгебры GAP.

Unitary operators in Hilbert spaces — i.e., unitary representations of some symmetry groups — lie in the core of mathematical descriptions of quantum phenomena. We can assume these groups to be finite without any risk to destroy the physical content of the problem, since metaphysical choice between “finite” and “infinite” can not lead to any empirically observable consequences.

In the finite background any quantum mechanical problem can be reduced to permutations since permutation representations contain all others representations. This fact — together with interpretation of quantum amplitudes as vectors of natural numbers (“multiplicities of occurences” of underlying permuted entities) — makes quantum mechanical problems constructive and suitable for study by computer algebra and computational group theory methods. In our approach the need in the interpretational constructions like “wavefunction collapse”, “many-worlds”, “many-minds” etc. disappears. We demonstrate that observable values can be expressed in terms of permutation invariants and natural numbers characterizing symmetry groups. In particular, Born’s probabilities are alwayas free of irrationalities — in spite of presence of cyclotomic numbers in intermediate computations — combinations of permutation invariants.

The study has been accompanied by computations with finite groups, representations and invariants. We have used both our C implementation of algorithms for working with groups and computer algebra system GAP.