Семинар сектора

В.П.ГЕРДТ
Нач. сектора алгебраических и квантовых вычислений
ЛИТ ОИЯИ, г.Дубна

Доклад основан на материалах рабочего совещания «Quantum Computing for High Energy Physics» (CERN, November 5-6, 2018) и других открытых источников и представляет собой краткий обзор современного состояния квантового компьютинга и квантовой информатики. Среди особенно
перспективных приложений квантовых технологий будет сделан акцент на задаче квадратичной бинарной оптимизации при отсутствии ограничений. Эффективное решение данной задачи лежит в основе быстро развивающейся области - квантового машинного обучения – перспективного в
анализе больших данных.

В.П.Гердт

Andzei Gozdz
(Institute of Physics, University of M. Curie-Sk lodowska, Lublin, Poland)

Because of known "Pauli theorem" the problem of time operator was not considered for years. After development of experimental technics it turned out that some assumptions lying at the base of the Pauli considerations should be relaxed and finally the problem of time as a quantum observable returned.
During the seminar a few crucial experimental facts about time will be shown and a proposal of a new evolution law will be formulated.

Stanislav V.Poslavsky (Institute for High Energy Physics NRC Kurchatov Institute)

Computer algebra and in particular computational commutative algebra (along with algebraic number theory and algebraic geometry) is a quite important ingredient of practical computations in high energy physics. Importance of fast algebraic methods is especially manifested when e.g. considering physical processes at modern colliders within (N)NLO accuracy: methods such as rational function arithmetic, solving (non-)linear systems of equations, Groebner bases etc. are essential parts of many computational pipelines often become a "bottle-neck" when doing practical calculations. The talk is devoted to the `Rings` library, which implements the most part of basic asymptotically fast algorithms in the fields of commutative algebra, number theory and algebraic geometry. Specific attention will be paid to the implementational aspects, benchmarks and applications of the library in typical computations in HEP. Generally, the talk has mathematical and programmer's focus.

A.Sutulin (BLTP JINR)

We construct the supersymmetric extension of the $n$-particles Euler-Calogero-Moser model within the Hamiltonian approach.
The main feature of the proposed supersymmetrization method is that it is automatically adapted for a model of the type under consideration with an arbitrary even number of supersymmetries. It is shown that the number of fermions that must be used in this construction is $Mn(n+1)$. We demonstrate that the resulting ${\cal N}=2M$ supersymmetric system is dynamically invariant with respect to the superconformal group $Osp(2M|2)$ and give the explicit realization of generators of the latter as conserved currents.
For the simplest case of the ${\cal N}=2$ supersymmetric $n$-particles Euler-Calogero-Moser model we provide its description in superspace by using the corresponding constraint superfields.

V. Abgaryan

Our resent results on Wigner function of an N-level quantum system are going to be presented. After the introduction to the general set up of the problem and derivation of the most general algebraic restrictions on the kernel of the transformation a convenient parameterization of the kernel for qubit and qutrit will be described. Although the negative values of Wigner function are commonly associated with "quantumnes" of the state (i.e. entanglement), we don't find a trivial connection. Noticing this, we study the probability of negativity of Wigner function as well as the conditional probability of negativity under the condition of separablity for a qubit-qubit pair.

В.В.Корняк

Одной из центральных задач теории групп и её приложений в физике является разложение на неприводимые компоненты представлений групп в векторных пространствах. Для векторных пространств над конечными полями наиболее эффективным считается вероятностный алгоритм типа Лас Вегас, называемый MeatAxe. Этот алгоритм сыграл большую роль в решении проблемы классификации конечных простых групп. Однако подход, используемый в MeatAxe, не применим к проблемам, связанным с квантовой механикой, поскольку над конечными полями невозможно построить гильбертово пространство. Мы предлагаем алгоритм расщепления перестановочных представлений конечных групп в гильбертовых пространствах, основанный на том, что компоненты инвариантного скалярного произведения в инвариантных подпространствах представляют собой операторы проектирования в эти подпространства. Существенным элементом алгоритма является вычисление базисов Грёбнера полиномиальных идеалов. Предварительная реализация алгоритма способна расщеплять представления размерностью в несколько тысяч, что сопоставимо с возможностями MeatAxe, особенно если учесть, что вычисления проводятся в существенно более трудном контексте нулевой характеристики. Приводятся результаты конкретных вычислений.

Филипп Усков (МГУ им. Ломоносова; Сколтех)

V. Abgaryan

After the exact solution of XY model the calculation of one and two site density matrices will be described (the necessity of separate consideration of ground state density matrix in the vicinity of the quantum critical point will be stressed out and discussed). The results of entanglement properties for Ising model in transverse field will be given. A procedure to entanglement for the same model for finite site numbers ill also be described.

V. Abgaryan

We are going to discuss quantum entanglement and it's measures. Starting from the restrictions put on the measures of entanglement and their reasoning a survey of entanglement measures will be given (such measures as distillable entanglement, entanglement cost etc. will be defined). The results of calculation of some measures of entanglement for particular toy models will be given.

V. Abgaryan

In the second part of the seminar devoted to the review of mathematics of quantum entanglement based on lecture notes by Brandão et al. we are going to go into POVM's in more detail. We will also talk about quantum entropy and the typical sets (in the context of data compression algorithm); quantum teleportation, entanglement transformations and entanglement dilution. The quantum marginal problem as well as monogamy of entanglement is also going to be presented and briefly discussed.

V. Abgaryan

Gradual overview of the mathematical basics of quantum entanglement is going to be presented based on the lectures by Brandão et al. After some introductory remarks the notion of positive operator-valued measurements will be discussed. We will also talk about quantum entropy and the typical sets (in the context of data compression algorithm); quantum teleportation, entanglement transformations and entanglement dilution. A short discussion of the quantum marginal problem and monogamy of entanglement will be provided. Depending on the time we will have left we will also touch separability of states, PPT and Bell inequalities.

Ломидзе И.Р., Евлахов С.А.

Доклад посвящён новому алгоритмическому методу факторизации характеристического полнинома эрмитовой матрицы и локализации корней указанного полинома. Задача тесно связана с описанием класса унитарно-эквивалентных эрмитовых NxN матриц по их унитарным инвариантам, а именно, по следам их степеней.

И.Р. Ломидзе

Наша цель - описать класс унитарно-эквивалентных эрмитовых NxN матриц по их унитарным инвариантам, а именно, по следам их степеней. Под классом унитарно-эквивалентных матриц понимаются все матрицы, связанные преобразованием подобия P=UQU^{-1}, где U - унитарная матрица. Мы расскажем об алгоритме для разложения характеристического многочлена произвольной унитарной матрицы на множители, в каждый из которых входят линейные множители одинаковой кратности, покажем, как локализовать корни указанного многочлена, и приведём алгоритм,
позволяющий в общем случае решить задачу описания орбит.

A. Gozdz, A. Pedrak, A.A. Gusev, V.P. Gerdt, S.I. Vinitsky, V.L. Derbov

A symbolic algorithm which can be implemented in computer algebra systems for generating bases for irreducible representations of the laboratory and intrinsic point symmetry groups acting in the rotor space is presented. The method of generalized projection operators is used. First the generalized projection operators for the intrinsic group acting in the space L2(SO(3)) are constructed. The efficiency of the algorithm is investigated by calculating the bases for both laboratory and intrinsic octahedral groups irreducible representations for the set of angular momenta up to J=10.

В.П.Гердт

В докладе будет представлен и иллюстрирован простыми примерами алгоритмический подход к построению алгебраической и дифференциальной декомпозиции Томаса для систем алгебраических и полиномиально-нелинейных дифференциальных систем, соответственно, со многими неизвестными. В случае алгебраических систем результатом работы алгоритма является конечный и полностью эквивалентный исходной системе (т.е. в совокупности имеющий те же решения) набор, так называемых, "простых" алгебраических подсистем треугольного вида с не пересекающимися пространствами решений. В случае дифференциальных систем, алгоритм вычисляет конечное множество "простых" дифференциальных подсистем, которые алгебраически просты и инволютивны, и которые, также как и в алгебраическом случае, дают разбиение пространства решений исходной системы.

Лыонг Ле Хай (Белгородский ГУ)

Построены вычислительные схемы решения задачи Штурма-Лиувилля с однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода методом конечных элементов, сохраняющие в приближённых решениях свойства непрерывности производных искомых решений. Выведены рекуррентные соотношения для вычисления в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита с узлами произвольной кратности. Из интерполяционных полиномов Эрмита сконструированы базисные кусочно-полиномиальные функции на конечноэлементной сетке с переменным шагом. С их помощью исходная задача Штурма-Лиувилля в базисе кусочно полиномиальных функций редуцируется к обобщённой алгебраической задаче на собственные значения с ленточными матрицами жёсткости и масс. Исследована эффективность и скорость сходимости предложенных вычислительных схем и разработанных алгоритмов и программ на примере решения задач Штурма-Лиувилля с непрерывными и кусочно-непрерывными потенциальными функциями.

В.В.Корняк

Обсуждается конструктивный подход к описанию эволюции квантовых систем.

Лыонг Ле Хай (Белгородский ГУ)

Модель квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающий барьер сформулирована в виде двумерной краевой задачи для уравнения Шредингера. С помощью разложения Галеркина в декартовых координатах или Канторовича в полярных координатах исходная задача редуцируется к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями третьего рода. Коэффициенты этой системы (эффективные потенциалы) вычисляются как интегралы от произведения базисных функций и/или их производных по параметру. Представлен алгоритм вычисления асимптотик матричных элементов в полярных координатах. Для потенциала взаимодействия Морса результаты расчётов сравниваются с прямым численным решением исходной двумерной краевой задачи с помощью схемы Нумерова. Показано, что имеет место эффект квантовой прозрачности, т.е. резонансное поведение коэффициента прохождения, что связано с существованием барьерных метастабильных состояний, вложенных в континуум.

В.В.Корняк

Рассматриваются комбинаторные модели динамических систем и подходы к статистическому описанию таких моделей. Можно показать, что многие понятия и конструкции непрерывной физики --- такие как непрерывные симметрии, принцип наименьшего действия, Лагранжианы, детерминистические эволюционные уравнения --- могут быть получены из комбинаторных структур как приближения в пределе больших чисел.

Максим Теслык (ЛТФ ОИЯИ)

Обсуждаются причины вычислительной эффективности квантовых алгоритмов в сравнении с классическими. Рассматривается квазиклассический предел (деквантизация) $\hbar\to0$ для полного набора элементарных логических операций и оценивается потеря информации на каждой из них в данном пределе. Показано, что потеря информации составляет $О(N 2^N)$ для алгоритма быстрого дискретного Фурье-преобразования и $О(N^2 2^{N/2})$ для поискового алгоритма Гровера.

А. Элашвили (Математический Институт им. Размадзе, Тбилиси)

Пусть L - конечномерная алгебра Ли. Определим билинейную кососимметрическую форму B_f(x,y):=f([x,y]) по фиксированной линейной функции f на L. Если существует такая f, для которой форма B_f невырождена, то L называют фробениусовой алгеброй Ли.
В докладе будет рассказано о вычислении функции F(n), определённой как число сопряжённых класов фробениусовых алгебр Ли в классе бипараболических подалгебр специальной линейной алгебры Ли sl(n) (алгебра Ли матриц порядка n с нулевым следом) и будут приведены примеры семейств фробениусовых алгебр Ли бипараболического типа в sl(n), для которых можно явно указать асимптотику их числа по n.
Основные результаты получены совместно с М. Джибладзе (Математический Институт им. Размадзе, Тбилиси)

С.А. Евлахов

В докладе будет рассказано о "обобщённой параметризации Эйлера" для группы SU(N) и её применении к вычислению объёма группы. Будет показано, как строятся левоинвариантные формы на SU(N); в простейшем случае (N=2) будут выписаны явные формулы.

Д.А.Ляхов

В докладе будет дано введение в простейшие методы группового анализа дифференциальных уравнений. С помощью этих методов будет рассмотрена задача динамики волоса, которая описывается системой уравнений в частных производных (Cosserat's Equations). Найдены симметрии и инварианты, а также построено частично-инвариантное решение вида бегущей волны.

В.В.Корняк

В.В.Корняк

Hans-Peter Pavel ( BLTP JINR and TU Darmstad)

For a complete description of the physical properties of low-energy QCD, it might be advantageous to first reformulate QCD in terms of gauge invariant dynamical variables, before applying any approximation schemes. Using a canonical transformation of the dynamical variables, which Abelianises the Non-Abelian Gauss-law constraints to be implemented, such a reformulation can be achieved for QCD. It corresponds to a generalized polar decomposition of the gauge fields into gauge-rotation and gauge-invariant parts and a corresponding phase rotation of the fermion fields. This reduces the colored spin-1 gluons and spin-1/2 quarks to unconstrained colorless spin-0, spin- 1, spin-2 and spin-3 glueball fields and colorless Rarita-Schwinger fields respectively. The obtained physical Hamiltonian naturally admits a systematic strong-coupling expansion, equivalent to an expansion in the number of spatial derivatives. The existence of such a generalized polar decomposition, the position of the zeros of the corresponding Jacobian (Gribov horizons), and the ranges of the physical variables can be investigated by solving a system of algebraic equations. Its exact solution for the case of one spatial dimension and first numerical solutions for two and three spatial dimensions indicate that there is a finite number of solutions separated by Gribov horizons.

В.В.Корняк

Основные структуры классических и квантовых динамических систем рассматриваются с конструктивной точки зрения. Обсуждаются различия между непрерывным и дискретным описанием этих структур.
Основные темы доклада:

1. Дискретные динамические системы с симметриями.
2. Дискретная версия принципа калибровочной инвариантности.
3. Соотношение между дискретными системами и их континуальными аппроксимациями: возникновение пространственно-временных структур, непрерывных симметрий и т.д.
4. Специфика поведения детерминистических дискретных систем: солитоноподобные структуры, обратимость, унитарность и т.д.
5. Конструктивный анализ квантовомеханического поведения.

Илья Рогожин

Предполагается обсуждение проблемы “сепарабельности” состояний бинарной квантовой системы, то есть задачи определения тех алгебраических и геометрических характеристик пространства состояний, которые позволяют судить о наличии и количественно описать сугубо квантовые корреляции, присущие данной системе. Учитывая вычислительную сложность задачи, предлагается исследование ее вероятностных аспектов. В частности, в докладе будет анализироваться вопрос: "Насколько часто, среди всевозможных состояний составных бинарных квантовых систем, встречаются сепарабельные состояния ?"

Ответ на этот вопрос будет дан для двух простейших бинарных систем; двух кубитов и пары кубит-кутрита. Для полноты изложениня начнем с введения необходимых понятий из квантовой механики, используемых для описания смешанных состояний составных систем. Далее сформулируем алгебраический критерий сепарабельности состояний и введем меру на пространстве состояний. Будет описан численный алгоритм генерации физических матрицы плотности с распределениями Гильберта-Шмидта и Бура. Имея данные ингредиенты, оценим частоту появления сепарабельных состояний путем вычисления их относительного объема по отношению к полному объему всех состояний.

В.П.Гердт

В докладе будет дано краткое введение в теорию базисов Гребнера. В частности, будет дано определение допустимого мономиального упорядочения и базиса Гребнера для идеала в кольце многочленов многих переменных над полем нулевой характеристики. Кроме того, будет введено понятие полиномиальной редукции и алгоритмические основы построения базисов Гребнера для идеалов, заданных своими образующими, а также рассмотрены основные свойства базисов Гребнера.

А.А.Гусев